Matemática básica Ejemplos

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{c^{3} + 27}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{c^{3} + 3^{3}}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = c$ y $b = 3$ .

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - c \cdot 3 + 3^{2})}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 3^{2})}$

Paso 1.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{6}{c + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9}$ .

$\frac{6}{c + 3} \cdot \frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{3}{c^{2} - 3 c + 9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{c + 3}{c + 3}$ .

$\frac{6}{c + 3} \cdot \frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} \cdot \frac{c + 3}{c + 3} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{6}{c + 3}$ por $\frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9}$ .

$\frac{6 (c^{2} - 3 c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} \cdot \frac{c + 3}{c + 3} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{3}{c^{2} - 3 c + 9}$ por $\frac{c + 3}{c + 3}$ .

$\frac{6 (c^{2} - 3 c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} + \frac{3 (c + 3)}{(c^{2} - 3 c + 9) (c + 3)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(c^{2} - 3 c + 9) (c + 3)$ .

$\frac{6 (c^{2} - 3 c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} + \frac{3 (c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 (c^{2} - 3 c + 9) + 3 (c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 (c^{2} - 3 c + 9) + 3 (c + 3) - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 c^{2} + 6 (- 3 c) + 6 \cdot 9 + 3 (c + 3) - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 7.1.2

Simplifica.

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $- 3$ por $6$ .

$\frac{6 c^{2} - 18 c + 6 \cdot 9 + 3 (c + 3) - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $6$ por $9$ .

$\frac{6 c^{2} - 18 c + 54 + 3 (c + 3) - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 c^{2} - 18 c + 54 + 3 c + 3 \cdot 3 - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 7.1.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{6 c^{2} - 18 c + 54 + 3 c + 9 - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 7.2

Suma $- 18 c$ y $3 c$ .

$\frac{6 c^{2} - 15 c + 54 + 9 - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 7.3

Suma $54$ y $9$ .

$\frac{6 c^{2} - 15 c + 63 - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 7.4

Resta $162$ de $63$ .

$\frac{6 c^{2} - 15 c - 99}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Factoriza $3$ de $6 c^{2} - 15 c - 99$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $3$ de $6 c^{2}$ .

$\frac{3 (2 c^{2}) - 15 c - 99}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 8.1.2

Factoriza $3$ de $- 15 c$ .

$\frac{3 (2 c^{2}) + 3 (- 5 c) - 99}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 8.1.3

Factoriza $3$ de $- 99$ .

$\frac{3 (2 c^{2}) + 3 (- 5 c) + 3 (- 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 8.1.4

Factoriza $3$ de $3 (2 c^{2}) + 3 (- 5 c)$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - 5 c) + 3 (- 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 8.1.5

Factoriza $3$ de $3 (2 c^{2} - 5 c) + 3 (- 33)$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - 5 c - 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 8.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 8.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 33 = - 66$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 8.2.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 c$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - 5 (c) - 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 8.2.1.2

Reescribe $- 5$ como $6$ más $- 11$

$\frac{3 (2 c^{2} + (6 - 11) c - 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 8.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (2 c^{2} + 6 c - 11 c - 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 8.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{3 ((2 c^{2} + 6 c) - 11 c - 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 8.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{3 (2 c (c + 3) - 11 (c + 3))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 8.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $c + 3$ .

$\frac{3 ((c + 3) (2 c - 11))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

$\frac{3 (c + 3) (2 c - 11)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 9

Cancela el factor común de $c + 3$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (c + 3) (2 c - 11)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (2 c - 11)}{c^{2} - 3 c + 9}$